Patrate magice (1)

Daca tot am vorbit de magia numerelor, mi-am adus aminte ca atunci cand am scris despre Dürer am promis ca voi povesti cate ceva despre patratele magice. Asa ca o sa ma tin chiar acum de cuvant.

Unul dintre cele mai simple patrate magice posibile este cel din figura:

Fig1

De ce este magic acest patrat? Pentru ca in casutele lui sunt scrise noua numere diferite si, adunand numerele dde pe fiecare linie, de pe fiecare coloana si de pe cele doua diagonale, se obtine mereu acelasi numar: 15. Numerele sunt mici, adunarile simple, se pot face in minte, asa ca va rog sa verificati. Suma aceasta constanta poarta numele de suma magica. 

Prima observatie este ca plecand de la patratul din poza, fiecare poate sa construiasca alte patrate magice, cu alte numere si cu o alta suma magica. Sa ne inchipuim ca-i adaugam o unitate fiecarui numar din patratul magic. Iata ce o sa obtinem:

Fig2

Practic, la suma magica se adauga 3 unitati, obtinandu-se 18 pe fiecare linie, coloana si diagonala. 

Dar la fel de bine se pot aduna, in fiecare casuta, 5 unitati, sau 18 sau 379...in general orice numar din lumea asta. Am putea aduna si numere de genul 3,72 in fiecare castuta, dar asta nu ar face decat sa strice aspectul patratelor magice, asa ca vom ramane sa lucram doar cu numere intregi.

Inca o observatie: putem sa inmultim fiecare dintre numerele aflate intr-un patrat magic si vom obtine un alt patrat magic. Sa zicem ca inmultim toare numerele patratului magic din Fig1 cu 2. Iata ce vom obtine:

Fig3

Asta se bazeaza pe o proprietate a inmultirii numita distributivitate: a(b+c) = ab + ac.
Concret: in Fig1, pe linia 1, suma este:
4 + 9 + 2 = 15,
iar in Fig 3, suma de pe prima linie este:
8 + 18 + 4 = 30.
Dar asta se mai scrie asa:
2 x 4 + 2 x 9 + 2 x 2 = 2 x 15,
sau, dand factor comun pe 2:

2(4 + 9 + 2) = 2 x 15

In paranteza apar exact numerele de pe prima linie a patratului din Fig1. Asadar, este absolut evident ca suma magica a patratului din Fig3 se obtine inmultind cu 2 suma magica a a patratului din Fig1.

Una peste alta, avem o regula: daca adunam sau inmultim toate numerele dintr-un patrat magic cu un numar oarecare n, obtinem un nou patrat magic. Daca suma primului patrat magic este S, atunci suma noului patrat va fi S+n sau S x n, dupa cum am adunat sau am inmultit cu n.

Ar mai fi de observat ca daca rotim (de cate ori avem chef) un patrat magic cu 90 de grade, el ramane magic, ceea ce este o banalitate crasa. Problema care ar mai fi de rezolvat este urmatoarea: cum sa construim singuri un patrat magic, avand la dispozitie doar niste numere. 

Voi face asta intr-o postare viitoare.