Euler

Azi e ziua lui Euler - unul dintre cei mai mari gânditori ai lumii. Puteți citi, cu ocazia asta, un foarte frumos expozeu sustțnut pe tema „Euler” de profesorul universitar Ion Chițescu, fost decan al Facultății de Matematică, unul dintre cei câțiva oameni pe care mă mândresc că i-am cunoscut. Poate voi povesti vreodată câte ceva despre întâlnirile pe care le-am avut cu domnul Chițescu, despre discuțiile pe care le-am purtat. Textul a fost scris în 2007, când se împlineau 300 de ani de la nașterea lui Euler.

I. Introducere

La 15 aprilie 2007 s-au împlinit 300 de ani de la naşterea marelui matematician elveţian Leonhard Euler.

Ziua naşterii lui - 15 aprilie 1707 - este o dată importantă în istoria umanităţii şi împlinirea a 300 de ani de la această zi ne face să ne înclinăm încă odată în faţa copleșitoarei personalităţi a lui Euler și ne îndeamnă să ne gândim cu modestie și respect că istoria stiinţei și culturii au făcut-o titanii.

Euler era elveţian. Această mică ţară - Elveţia - a dat omenirii câteva mari personalităţi. Vom cita dintre acestea: dinastia de matematicieni și fizicieni Bernoulli, filozoful Jean-Jacques Rousseau, marele pedagog Jean Henri Pestalozzi. Elveţia a mai dat lumii rigoarea și precizia sim­bolizate de inegalabilele ceasuri elveţiene, precum și spiritul de onoare și fidelitate împinse pană la sacrificiul suprem, simbolizate de garda elveţiană.

Pentru noi, cei care lucrăm în domeniul matematicii, Elveţia l-a dat omenirii, mai presus de orice, pe Leonhard Euler. Cine nu a auzit de Eu­ler? Ne-am întâlnit cu toţii în liceu cu dreapta lui Euler, cu cercul lui Euler. Poate că nu am știut, dar câteva simboluri curente au fost încetăţenite în matematică de Euler: e, i, n, ∑ și f(x).

Se spune despre Euler că a fost cel mai mare matematician al secolului al XVIII-lea. Desigur, acest gen de clasificări este întotdeauna discutabil. Este însă sigur ca Euler este matematicianul cu cea mai întinsă operă din istorie.

Gustav Enestrom listează 850 de titluri de memorii ale lui Euler. Academia de Ştiințe a Elveţiei a înfiinţat în anul 1907 (cu prilejul bicentenarului nașterii) Comisia Euler, care avea ca sarcină publicarea întregii opere a lui Euler, împreună cu corespondenţa sa, manuscrisele sale și jurnalele sale. Această întreprindere a necesitat munca a sute de matematicieni și admi­ratori ai lui Euler din întreaga lume. Publicarea operelor complete ale lui Euler a început în 1911 și a fost oprită înainte de a se putea publica to­tul. Publicarea a fost reluată acum câţiva ani și este, acum, aproape com­pletă. Ediţia (colecţia) actuală beneficiază la fiecare volum de introduceri substanţiale și date scrise de mari specialiști. Numărul de pagini al fiecărui volum variază între 300 și 600. Până în prezent au fost publicate circa 30000 de pagini. Colecţia actuală la care facem referire se numește Opera Omnia (Opera întreagă) și este divizată în 4 serii. Iată numele acestor serii:

Series prima: Opera mathematica

Series secunda: Opera mechanica et astronomica

Series tertia: Opera physica. Miscellanea

Series quarta A: Commercium epistolicum

Series quarta B: Manuscripta

Euler a reprezentat o piatră de hotar în dezvoltarea matematicii și a învăţământului matematic. Cărtile sale, caracterizate prin simplitate, clar­itate și forţă emoţională de comunicare au reprezentat primele manuale în sensul modern al cuvântului. Euler a devenit primul profesor al Europei nu numai în timpul său, ci și în secolul al XIX-lea. Gauss a spus: „Studiul operelor lui Euler rămâne cea mai bună instrucţie în diferite ramuri ale matematicii și nu poate fi înlocuit cu nimic altceva“.

Putem vorbi de un „fenomen Euler“? Credem că da. Acest fenomen are următoarele componente:

a) O cultură vastă, cu tentă clasicizantă, incluzând cunoașterea multor limbi străine, printre care latina și greaca. Majoritatea operei lui Euler a fost scrisă în limba latină.

b) O memorie fenomenală. Se pare că Euler reţinea aproape totul. De exemplu, chiar la o vârstă avansată, era capabil să recite în întregime Eneida lui Virgiliu, în limba latină.

c) O forţă de calcul uluitoare (făcea calcule mintale uriașe fără greșeală). Astronomul francez Francis Arago spunea: „Euler calculează asa cum oa­menii respiră și vulturii zboară în văzduh.“

d) O capacitate extraordinară de concentrare. Atunci când medita asu­pra unui subiect, zgomotul și dezordinea dimprejur nu îl deranjau deloc. Thiebault, colegul său de la Academia din Berlin, spunea: ,,Un copil pe genunchi, o pisică pe spinare - iată cum îsi scria el opera nemuritoare”

e)  Capacitate de a munci în mod continuu și calm, fără întrerupere, ca mod firesc de viaţă.

Toate aceste componente completează în mod armonios geniul matema­tic al acestui titan al gândirii.

II. Viaţa

1.  Copilăria, anii de formare

Leonhard Euler s-a născut la Basel (Bale), Elveţia, în data de 15 aprilie 1707 și a murit la Sankt Petersburg (Rusia) în data de 18 septembrie 1783. A avut două surori mai mici: Anna Maria și Maria Magdalena.

Tatăl său, Paul Euler, era pastor luteran, cu studii de teologie la Universitatea din Basel, dar și cu studii de matematică (audiase cursurile lui Jacob Bernoulli). De altfel, în vremea studenţiei lor la Basel, Paul Euler și Johann Bernoulli au locuit în casa lui Jacob Bernoulli, care era și el fiu de pastor protestant. Johann Bernoulli avea să devină, după moartea lui Newton, unul dintre cei mai importanţi matematicieni ai Europei, și avea să aibă o influenţă decisivă asupra carierei lui Leonhard Euler.

Cu această ocazie, menţionăm imensa importanţă pe care a avut-o di­nastia Bernoulli asupra vieţii și operei lui Euler. Daniel și Nicolaus, fii lui Johann Bernoulli, aveau să-i fie cei mai buni prieteni.

Mama lui Euler, Margaretha Brucker era fiica unui pastor protestant. Evident, tânărul Euler a primit o educaţie profund religioasă și foarte solidă, bazată pe studii clasice serioase. Această dublă trăsăatură a educaţiei l-a marcat profund, definitiv, pe Euler, care a fost un creştin practicant, chiar teoretician al crestinismului și, de asemenea, un mare om de cultură, adept al clasicismului, cu solide cunostinţe de teologie, medicină, astronomie, fizică și limbi străine.

Când micul Euler a împlinit un an, familia s-a mutat în orasul Riehen, lângă Basel, unde Euler si-a petrecut aproape toată copilăria. Graţie educaţiei sale matematice, Paul Euler l-a putut introduce de timpuriu pe Leonhard în lumea miraculoasă a matematicii, predându-i în același timp și elemente de bază ale altor discipline. Trebuie menţionat ca Paul Euler si-a dorit cu ardoare ca fiul său să urmeze teologia și l-a îndrumat în acest sens, reușind ulterior să înţeleagă că vocaţia acestuia era matematica.

A urmat plecarea tânărului Leonhard Euler la școală, în orasul său natal, Basel. Aici el a locuit la bunica dinspre partea mamei. Inșscoala de la Basel se preda extrem de puţină matematică (practic aproape deloc). In aceste condiţii, Leonhard si-a potolit setea de matematică pe cont propriu, luând meditaţii. La vârsta de 13 ani (1720) Leonhard Euler se înscrie la Universitatea din Basel cu scopul declarat de a se pregăti pentru cariera teologică. In acest sens urma ca, în universitate, să primească mai întâi o pregătire de bază teologică și filozofică, completată cu cunoștinţe de limbi orientale și istorie.

Foarte curând, în timpul studenţiei, Leonhard Euler si-a dat seama că adevărata sa vocaţie este matematica. Acest fapt a fost recunoscut ime­diat de Johann Bernoulli care, deși era foarte ocupat, i-a indicat cărţile pe care era necesar să le citească, l-a introdus în problemele moderne de cerc­etare matematică și l-a primit pentru sfaturi în ceea ce privește obstacolele întâlnite. Cităm din Euler: „Dacă întâlneam unele obstacole sau dificultăţi, mi s-a dat permisiunea să îl vizitez de câte ori voiam în fiecare duminică după amiază și el îmi explica cu multă amabilitate tot ceea ce eu nu puteam să înţeleg.“

In 1723, Leonhard Euler absolvă facultatea la Basel, obținând titlul de Master în filozofie. In teza de master, Euler compară și pune în antiteză ideile filozofice ale lui Descartes și Newton.

In toamna lui 1723, Leonhard Euler, respectând voinţa tatălui său, începe studiile de teologie la Universitatea din Basel. Studiile intense de teolo­gie, limba greacă, limba latină și ebraică necesare facultăţii de teologie îl îndepărtau pe Euler de matematică. La rugămintea sa, Johann Bernoulli, care, după cum am mai spus, era prieten cu tatăl său, l-a convins pe acesta să îl lase pe Euler să părăsească teologia și să studieze matematica.

Euler reușește să încheie studiile de matematică la Universitatea din Basel în 1726. In acest răstimp, sub atenta îndrumare a lui Johann Bernoulli, Euler a citit un material enorm, incluzând lucrări ale unor coloşi ai mate­maticii și mecanicii precum Descartes, Newton, Jacob Bernoulli, Taylor, Wallis, Galilei, Varignon. Deja în 1726, Euler scrisese o lucrare privind curbe izocrone în medii rezistente.

In 1727 a publicat un articol despre traiectorii reciproce, pe care l-a trimis să concureze pentru marele premiu la un concurs al Academiei din Paris, dedicat modalităţii optime de aranjare a catargelor pe un vapor. Premiul întâi la acest concurs l-a obţinut Piere Bourguer, cel care, ulterior, avea să fie supranumit „tatăl arhitecturii navale“. Premiul al doilea a fost acordat lui Euler. De notat că Euler a obţinut în cariera sa de 12 ori premiul Academiei din Paris.

Tot în 1727, Euler si-a susţinut teza de doctorat cu titlul ,,De sono“ (Despre acustică). Pe baza acestei teze, tânărul Euler (20 ani) a solicitat un post de profesor de fizică la Universitatea din Basel, post vacant prin decesul titularului, pe care nu l-a obţinut. Unii spun că motivul major al respingerii ar fi fost tinereţea solicitantului.

2.   Prima perioada de la Sankt Petersburg

In faţa situaţiei create prin neobţinerea catedrei de la Basel, Euler a trebuit să ia o decizie hotărâtoare pentru viitorul său. In acest sens, o ocazie neașteptată a apărut prin moartea, în urma unei apendicite, a prietenului său Nicolaus Bernoulli II la Sankt Petersburg în iulie 1726, ceea ce a creat acolo un post liber la o catedră de aplicaţii ale matematicii și mecanicii în fiziologie. Euler acceptă acest post în noiembrie 1726, punând condiţia să pornească spre Rusia abia în primăvara lui 1727. Motivele acestei amânari au fost duble: pe de o parte, Euler dorea să se pregătească pentru noul post, care era foarte pretenţios prin specificul său; pe de altă parte, Euler a sperat până în ultimul moment să obţină, totuși, postul de profesor la catedra de fizică a Universităţii din Basel, pe care l-a dorit foarte mult. In acest sens, Euler a făcut o ultimă încercare, scriind un articol, devenit ulterior clasic, despre acustică. Totul a fost în zadar.

Să descriem puţin contextul istoric al acestui moment din viaţa lui Euler. In primul rând trebuie spus că prietenii săi Nicolaus și Daniel Bernoulli erau în Rusia din 1725, lucrând ca profesori la Academia de Ştiinţe din Sankt Petersburg. In acel moment, Rusia era în epoca imediat următoare lui Petru cel Mare, despotul luminat care a domnit între anii 1682-1725 și a modernizat Rusia. El a fondat în anul 1703 orasul Sankt Petersburg (ulterior Leningrad și revenit astăzi la denumirea iniţală de Sankt Petersburg). Petru cel Mare a adus în Rusia mulţi savanti ai epocii, punând bazele culturii occidentale în Rusia. Urmând ideile lui Leibniz, Petru cel Mare pregătea apariţia primei instituţii stiinţifice a Rusiei: Academia de Ştiinţe din Sankt Petersburg. Moartea lui, survenită în 1725, a făcut ca văduva sa, împărăteasa Ecaterina I, să aibă onoarea de a deschide această Academie, continuând politica culturală a soţului său. Ecaterina I a domnit apoi singură între anii 1725-1727.

La 5 aprilie 1727, sub domnia Ecaterinei I, Euler a plecat din Basel spre Sankt Petersburg. In vremea aceea, călătoriile nu erau deloc rapide. Să-l urmăm pe Euler în drumul său. Mai întâi a călătorit cu vaporul pe Rin. Apoi a traversat statele germane cu un vagon de poștă. In fine, îmbarcat la Lubeck, Euler ajunge pe vapor la Sankt Petersburg la data de 17 mai 1727. Din păcate, împărăteasa Ecaterina I a murit la foarte scurt timp după sosirea lui Euler la Sankt Petersburg. Această moarte nu a fost de bun augur pentru Academia de Ştiinţe din Sankt Petersburg, deoarece anturajul defunctei împărătese nu-i agrea prea mult pe savanţii străini de la Academie.

Din punct de vedere istoric, pentru Rusia a urmat o perioadă tulbure. Pe tron a fost urcat în 1727 Petru al Il-lea (în vârstă de 11 ani) care a domnit (evident sub tutelă) până în 1730, când a murit în mod suspect. Ana Ivanovna, nepoata lui Petru cel Mare, i-a succedat la tron. Ea a guvernat Rusia până la moarte, care a survenit în 1740. A fost urmată la tron de tânărul ţar Ivan al Vl-lea, care a guvernat sub regenţa mamei sale Ana Leopoldovna numai un an. Ei au fost înlăturaţi de la putere de fiica lui Petru cel Mare, Elisabeta Petrovna, care a domnit între anii 1741-1762. De menţionat că Universitatea din Moscova a fost înfiinţată în 1755, sub domnia ei. In 1762 a fost proclamat ţar Petru al III-lea - asasinat în același an de soţia sa, care avea să devină marea ţarină Ecaterina a II-a, conducătoare de excepţie a Rusiei până în 1796.

Să revenim la Euler. La insistenţele lui Daniel Bernoulli și Jakob Hermann, Euler a fost numit la departamentul de matematică și fizică și nu la departamentul de fiziologie, unde avusese prima numire. Trebuie să menţionăm că la Academia din Sankt Petersburg activau unii dintre cei mai străluciţi matematicieni ai epocii: Daniel Bernoulli (bun prieten cu Euler, cu multe preocupări de matematică aplicată), geometrul Jakob Hermann (rudă cu Euler), Christian Goldbach (specialist în mai multe ra­muri ale matematicii, autor al faimoasei conjecturi care-i poartă numele) și mulţi altii. De altfel, Academia era foarte elitistă, având un numar mic de studenţi admiși, care erau de un nivel foarte ridicat. Dotarea bibliotecii era excepţională, mare parte din cărţi fiind obţinute din donaţii ale curţii imperiale. Aceste circumstanţe făceau ca sarcinile didactice ale numeroșilor profesori ai Academiei să fie foarte reduse, ei putându-se dedica în liniște cercetării stiinţifice în condiţii materiale excepţionale .

La Sankt Petersburg, Euler a locuit împreună cu prietenul sau Daniel Bernoulli, care nu s-a adaptat niciodată foarte bine la condiţiile din Rusia. Spre deosebire de Daniel Bernoulli, Euler (care era un mare poliglot) a învăţat foarte bine limba rusă și s-a adaptat perfect Rusiei.

Urmărind cariera lui Euler, îl vedem devenind profesor de fizică la Academia de Ştiinţe în 1731. In 1733, Daniel Bernoulli părăsește definitiv Rusia, nemulţumit de intrigile continue și de ostilitatea cu care era privit de unii colegi și unii reprezentanţi ai autorităţii statale. Postul de șef al depar­tamentului de matematică devine, astfel, vacant și este ocupat de Euler.

La 7 ianuarie 1734, Leonhard Euler se căsătoreste cu Katharina Gsell, care era elveţiană, fiica pictorului Georg Gsell, profesor la Gimnaziul Aca­demiei din Sankt Petersburg.

Cu Katharina, Euler a avut 13 copii, dintre care au reușit să supravieţuiască peste perioada copilăriei numai 5. Doar 3 dintre aceștia i-au supravieţuit. Unul singur - Johann Albrecht - a devenit matematician.

Este poate, acum, momentul să spunem câteva cuvinte despre Euler - omul, despre calităţile și cultura lui ieșite din comun. Era un om deosebit, sociabil și optimist, în ciuda numeroaselor probleme de sănătate pe care le-a avut. Total lipsit de aroganţă, deși conștient de marea sa valoare, era de o politeţe deosebită, cu maniere care trădau educaţia aleasă pe care o primise.

A fost întotdeauna generos cu ideile sale, împărtășind altor matemati­cieni multe din ideile și descoperirile lui, chiar înainte de a le publica. Nu a căutat niciodată să-și însușească ideile sau descoperirile altora. Iată cum vorbea Euler despre faimoasa formulă sumatorie care avea să poarte numele de formula Euler-MacLaurin: ,,Nu am niciun fel de dorinţă de a scădea cu ceva faima celebrului domn MacLaurin, deoarece domnia sa a descoperit aceeasi teoremă de sumare înaintea mea și prin urmare merită să fie numit prim descoperitor“.

Revenind la cariera stiinţifică a lui Euler, vom menţiona faptul că a fon­dat revista Commentarii Academiae Scientiarum Imperiales Petropolitanae. De menţionat că revista ar fi putut exista numai cu articolele lui Euler, care lucra într-un ritm incredibil.

Din cauza muncii excesive, la 28 de ani (1735), Euler a suferit o congestie cerebrală (unii autori acuză și condiţiile climatice din Rusia), sau chiar o eventuală cataractă, pierzându-si ochiul drept. ,,Voi avea mai puţine distracţii“ a exclamat savantul după pierderea ochiului și a continuat să muncească în același ritm infernal, cu aceeasi pasiune, în ciuda sfaturilor medicilor, care i-au recomandat odihna. Menţionăm că unii biografi cred că munca excesivă pusă în slujba cartografierii teritoriului Rusiei ar fi fost la originea pierderii ochiului.

In anii 1738 și 1740 Euler a obţinut Marele Premiu al Academiei din Paris, devenind una dintre cele mai importante figuri ale matematicii mon­diale.

Anii 1927-1741 (14 ani) au fost prima etapă de ședere la Sankt Petersburg.

3. Etapa Berlin

Ajungem în anul de graţie 1741. La Berlin, pe tronul Prusiei, era regele Frederic al II-lea Cel Mare (supranumit uneori ,,Unicul“). Putem spune cu tot curajul că el a reprezentat modelul de despot luminat. Protector al artelor și ştiinţelor, s-a înconjurat de unii dintre cei mai mari artiști și oameni de știinţă ai Europei, pe care îi primea adesea la minunatul castel de vară Sans Souci. De asemenea, Frederic al II-lea a fost un mare strateg, câștigând numeroase bătălii. Aceste calităţi au fost dublate de un foarte bun spirit administrativ. Desigur, i s-ar putea imputa vanitatea ieșită din comun, precum și excesiva admiraţie pentru limba și cultura franceză. In acest sens este de remarcat faptul că Frederic al II-lea și-a scris ,,Memoriile“ în limba franceză.

In acest timp, în Rusia, situaţia politică era tulbure. Incepuseră să se manifeste sentimente de xenofobie, savanţii străini de la Academia de Ştiinţe din Sankt Petersburg resimţind o oarecare nesiguranţă. Moartea ţarinei Ana Ivanovna, în 1740 a sporit starea de incertitudine din ţară. Consecvent cu politica sa de atragere a marilor figuri ale artei și stiinţei, Frederic al II-lea îl invită în mod imperativ pe Euler să vină la Berlin, în 1741. Euler acceptă invitaţia, pleacă din Sankt Petersburg la 19 iunie 1741 și ajunge la Berlin la 25 iulie 1741, unde este numit profesor la nou înfiinţata Academie Prusiană (viitoarea Academie din Berlin), stabilindu-se acolo cu întreaga familie. Obţine imediat poziţia de director al departamentului de matematică. De remarcat că președinte al Academiei a fost numit mecanicianul francez Maupertuis, situat cu mult sub Euler în clasificarea neoficială a savanţilor epocii. Cei doi au fost însă buni prieteni și Euler l-a înlocuit de multe ori de facto.

Euler avea să rămână la Berlin 25 de ani, până în 1766. Activitatea sa de la Berlin a fost prodigioasă, am putea spune incredibilă. Pe lângă cercetările de matematică, finalizate cu un număr fenomenal de articole (380) și cărţi, Euler a avut și alte numeroase activităţi: a supervizat observatorul astronomic și gradina botanică; a supervizat problemele finan­ciare ale Academiei; a înlesnit publicarea de calendare și hărţi geografice, din a căror vânzare s-au obţinut venituri serioase pentru Academie; a conceput baza teoretică a corectării nivelului apei în Canalul Finow; a supervizat munca la pompele și conductele sistemului hidraulic al castelului Sans Souci. Referitor la această ultimă activitate, merită să amintim că Frederic al II-lea se plângea într-o scrisoare către Voltaire de prestaţia lui Euler, care ar fi lucrat mai mult ca un geometru decât ca un inginer. Să mai adăugăm la aceste activităţi că Euler a fost consilier al guvernului pen­tru loteria de stat, asigurări, pensii și artilerie. A fost, poate, cel mai activ membru al comitetului știinţific al Academiei, ocupându-se de bibliotecă și publicaţiile stiinţifice.

Pe bună dreptate ne întrebăm când a mai putut Euler ca în aceasta perioadă să producă 380 de articole de cercetare, precum și nenumărate cărţi în următoarele domenii: calcul variaţional, calculul orbitelor plan­etelor, artilerie și balistică, construcţie de nave, navigaţie, mișcarea lunii, calcul diferenţial. O carte cu un caracter aparte este „Scrisorile lui Euler asupra unor subiecte variate, adresate unei prinţese germane“ (3 volume). In această carte, Euler, care fusese numit și tutore al prinţesei de Anhalt-Dessau (nepoata regelui Frederic al II-lea) strânge circa 200 de scrisori către prinţesă, în care expune în mod popular chestiuni privind matematica și fiz­ica, dar și religia. De menţionat că acestă carte a cunoscut un succes enorm, fiind mai citită decât toate operele matematice ale lui Euler, în întreaga Europă și în Statele Unite. Această carte ilustrează pe deplin talentul inegalabil de mare comu­nicator al lui Euler.

In acest răstimp, Euler a păstrat legăturile cu Rusia, rămânând membru al Academiei de Ştiinţe din Sankt Petersburg, căreia i-a trimis spre publicare aproximativ jumătate din scrierile sale, fapt pentru care a primit în mod continuu pensie din partea sus-numitei Academii.

Ne apropiem acum de sfârșitul perioadei berlineze din viata lui Euler. La acest sfârșit au contribuit doi factori: unul negativ și altul pozitiv.

Factorul negativ, care trebuie menţionat din motive de onestitate is­torică, nu face cinste unei anumite mari personalitaţi din istoria culturii. Unul din cei mai admiraţi și iubiţi oameni de cultură adusi la curte de Frederic cel Mare era Voltaire, care exercita o poziţie dominantă, fiind un fel de favorit al monarhului. Intrigile lui Voltaire, combinate cu dispreţul afişat de el faţă de modul onest și direct de comportament al lui Euler, l-au afectat profund pe acesta.

Factorul pozitiv a fost reprezentat de dorinţa puternică a marii împărătese Ecaterina a II-a a Rusiei de a-l readuce pe Euler în Rusia, în cadrul eforturilor ei (încununate, de altfel, de succes) de revenire la gloria anterioară a Aca­demiei de Ştiinţe de la Sankt Petersburg.

In acest sens, ambasadorul rus la Berlin a fost acreditat să accepte ab­solut toate condiţiile impuse de Euler pentru întoarcere.

In 1766, Euler decide să părăsească Berlinul pentru a reveni la Sankt Petersburg. Frederic al II-lea a fost profund șocat de această hotărâre a lui Euler si, iniţial, nu i-a permis să plece. In urma presiunilor formidabile exercitate de ţarină și în faţa hotărârii neclintite a lui Euler, Frederic al II-lea a cedat și Euler a plecat spre Rusia în 1766, prin Polonia. In Polonia a fost primit cu mare fast și respect de regele Stanislas. Intoarcerea la Sankt Petersburg a fost un adevărat triumf.

Menţionăm că succesorul lui Euler la Berlin a fost Lagrange.

4. A doua perioadă la Sankt Petersburg, ultimii ani

In 1766, la reîntoarcerea în Rusia, Euler era în varstă de 59 de ani. Avea să mai trăiască acolo 17 ani, caracterizaţi de o productivitate extraordinară (aproape o jumătate a operei sale), dar marcaţi, din nefericire, de pierderea completă a vederii și de alte nenorociri.

Munca istovitoare de zi cu zi i-a slăbit și mai mult vederea, care era deja afectată. In urma operaţiei nereușite de cataractă, Euler orbește în 1766. Geniul său a facut ca această tragedie să nu-i afecteze aproape deloc productivitatea matematică.

Este momentul să reamintim ca Euler a fost unul din cei mai extraordi­nari calculatori ai tuturor timpurilor: era capabil să efectueze calcule uriașe mintal, cu o rapiditate și o precizie incredibile.

In plus, după cum am spus, memoria sa era fabuloasă. Combinând toate aceste abilităţi, Euler a continuat să creeze, ajutat de fiii săi Johann Albrecht Euler (care devenise în 1766 profesor la catedra de fizică a Academiei de Ştiinţe din Sankt Petersburg, fiind apoi numit și secretar al acesteia în 1769) și Cristoph Euler (militar de carieră), precum și de matematicienii Krafft, Lexell și Fuss. Metoda de lucru era următoarea: Euler dicta (în special lui Johann Albrecht) și, în același timp, purta discuţii matematice cu asistenţii săi, pe care uneori îi punea să îi completeze calculele.

Cu generozitate și onestitate, maestrul i-a răsplătit pe discipoli pentru eforturile depuse în ajutorul său. De exemplu, Johann Albrecht, Kraft și Lexell au fost creditaţi ca autori ai unei lucrări de 775 de pagini privind mişcarea lunii.

După pierderea completă a vederii, au urmat alte nenorociri. In 1771, un incendiu i-a distrus casa. Intervenţia providenţiala a artistului Peter Grimm din Basel l-a salvat pe Euler din mijlocul flăcărilor. Au ars aproape toate cărţile din casă dar, în mod miraculos, au putut fi salvate manuscrisele lui Euler.

In 1773, după o căsătorie care a durat 40 de ani, soţia lui Euler, Katharina, trece în lumea drepţilor. Rămas văduv, Euler se recăsătorește în 1776 cu sora Katharinei, Abigail Gsell.

Leonhard Euler a murit la 18 septembrie 1783 la vârstă de 76 de ani. Iată cum descrie istoricul rus al stiinţelor A. P. Iuşkevici ultima zi din viaţa lui Euler: ,,In data de 18 septembrie 1783 Euler și-a petrecut prima parte a zilei ca de obicei. A făcut lecţia de matematică cu nepoţii, a făcut cu creta, pe două table, câteva calcule privind mișcarea baloanelor, apoi a discutat cu Lexell și Fuss despre recent descoperita planeta Uranus. In jurul orei 5 după amiază a suferit o hemoragie cerebrală și a mai apucat să murmure ,,Mor!“ înainte de a-și pierde cunostinţa. A murit în jurul orei 11 noaptea.“

Elogiul la moartea lui Euler a fost scris, din partea Academiei Franceze, de marchizul de Condorcet care a fost, ulterior, una din victimele terorii dezlănţuite de revoluţia franceză.

Euler este îngropat în celebra necropolă Nevskii Lavra din Sankt Pe­tersburg. Sarcofagul în care odihnește marele savant se găsește într-unul din locurile sfinte ale Rusiei, alături de alte mari personalităţi, precum Lomonosov.

III. Opera

 Este foarte greu, dacă nu imposibil, să cuprinzi într-o conferinţă datele esenţiale privind geniala și imensa operă a lui Euler. Voi încerca în cele ce urmează să mă achit de această sarcină quasi-imposibilă, cu riscurile inerente ale unei selecţii eventual arbitrare și superficiale.

Contribuţia lui Euler la Analiza Matematică a fost decisivă. Putem spune că Analiza Matematică a început cu Euler. Euler a conceput analiza ca studiu al funcţiilor.

Se știe că există o dispută istorică în ceea ce privește primatul asupra introducerii analizei matematice ca disciplină, între școala britanică (pen­tru care fondatorul analizei este Isaac Newton) și școala germană (pentru care fondatorul analizei este Gottfried Wilhelm Leibniz). Euler a reușit să contopească metoda fluxiunilor a lui Newton cu calculul diferenţial al lui Leibniz.

Carţile de analiză al lui Euler, dintre care cităm pe cele mai faimoase: ,,Introductio in analysis infinitorum“ (în care apare celebra formula e^iπ + 1 = 0), ,,Institutiones calculi differentialis“ și ,,Institutiones calculi integralis“ au reprezentat multă vreme sursa unică și autorizată de învăţare a analizei matematice.

Euler s-a ocupat de derivatele parţiale mixte, intuind comutativitatea lor (criteriile Young-Schwarz) și a descoperit criteriul ca o formă diferenţială să fie exactă (în limbaj arhaic ,,să fie diferenţială totală“).

A studiat probleme de maxim și minim și a utilizat în mod constant regulile lui L’Hospital.

Euler a introdus integralele care îi poarta numele (integralele euleriene, adica funcţiile beta și gamma).

In teoria seriilor, Euler a avut realizări nenumărate și remarcabile.

Inspirat de o carte în două volume a lui Fagnano, Euler s-a ocupat de integralele eliptice (de altfel el a recunoscut mereu întâietatea lui Fagnano în acest domeniu) și a creat, practic, teoria funcţiilor algebrice.

Euler a obtinut rezultate remarcabile în teoria fracţiilor continue. Contribuţia lui Euler la teoria ecuaţiilor diferenţiale a fost covârșitoare. Ii datorăm rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi, precum și rezolvarea ecuaţiilor liniare de ordin 2 cu coeficienţi variabili. De asemenea, Euler a introdus factorul integrant. In fine, Euler a avut și ideea metodei variaţiei constantelor.

Putem spune că Euler este fondatorul calculului variaţional, el fiind cel care a dat cele­brele ecuaţii Euler-Lagrange (descoperite independent de Lagrange).

In legătură cu geneza calculului variaţional trebuie să menţionăm că ea este datorată faimoasei probleme a brahistrocronei, propusă de Johann Bernoulli. Această problemă a fost rezolvată de mai mulţi matematicieni (se pare că Newton a rezolvat-o în aproximativ două ore). Euler a dat o teorie sis­tematică a rezolvării acestui tip de probleme, fondând, după cum am spus, calculul variaţional. (A se vedea cartea sa „Methodus inveniendi lineas curvas“). Ulterior, Lagrange a intervenit, scriindu-i lui Euler și introducând derivata variaţională și metoda multiplicatorilor care îi poartă numele.

Euler a avut realizări remarcabile în geometrie (incluzând trigonometria). Nu vom vorbi despre asa-zisa „geometrie elementară“, unde ne-a lăsat rezultate remarcabile - adevărate perle ale matematicii. Ne vom referi aici, în primul rând la faptul ca Euler a introdus în mod riguros funcţiile trigonometrice, dând și faimoasa formulă e^it = cos t + isin t.

In al doilea rând, Euler a început studiul teoriei suprafeţelor, investigând, între altele, curbura lor. A introdus geodezicele. Multe din rezul­tatele sale nu au fost publicate și au fost redescoperite ulterior de Gauss. In fine, să nu uităm celebra formulă pe care i-o datorăm lui Euler privind legătura între numărul vârfurilor, muchiilor și feţelor unui poliedru convex: V + F = M + 2.

Ajungem și la teoria numerelor unde Euler ne-a lăsat o multitudine de rezultate fundamentale.

La Euler, teoria numerelor a fost strâns împletită cu Algebra, pentru care ne-a lăsat monogafia „Anleitung zur Algebra“, în două volume. Această monografie a constituit, multă vreme, textul standard după care se învaţă algebra. De remarcat că în acest manual, Euler a introdus multe probleme pe care le-a rezolvat atunci când învăţa algebra în primii ani, cu tatăl său (informaţie comunicată de prof. dr. D. Vaida). In sus-numita monografie figura și formula binomului lui Newton cu exponent real (seria binomială).

Menţionăm că multe din rezultatele din teoria numerelor au fost obţinute pornind de la discuţiile avute de Euler cu colegul său Christian Goldbach de la Academia de Ştiinţe de la Sankt Petersburg. De exemplu, acesta l-a incitat pe Euler să se ocupe de conjectura lui Fermat privind faptul că numerele de forma 2ⁿ + 1  sunt prime dacă n =2^m. Euler a demonstrat falsitatea conjecturii arătând că 2³² + 1 se divide cu 641.

Mai menţionăm că multe rezultate ale lui Euler în teoria numerelor sunt inspirate de lucrările lui Fermat. Anume, Euler a demonstrat sau a infirmat o mulţime de rezultate ale lui Fermat adnotate de acesta pe o ediţie franceză a cărţii ,,Arithmetica“ a lui Diofant.

Alte rezultate ale lui Euler în teoria numerelor se referă la numerele care se pot reprezenta ca suma a două pătrate, legea reciprocităţtii pătratice (pe care doar a intuit-o, demonstraţia fiind dată ulterior de Gauss), numere poligonale etc.

Euler este și fondatorul teoriei grafurilor. Nașterea acestei discipline coincide cu rezolvarea de către Euler a problemei celor șapte poduri din Konigsberg (orașul lui Immanuel Kant, astăzi Kaliningrad, enclavă rusă). Problema era de a străbate câte o singură dată toate cele șapte poduri de pe râul Pregel care trece prin Konigsberg, cu întoarcere în punctul de start.

Euler a fost unul dintre cei mai mari mecanicieni din istorie (includem aici și mecanica cerească). Cartea sa ,,Mechanica“ a dat un impuls hotărâtor mecanicii.

Fundamental în ceea ce privește viziunea lui Euler asupra mecanicii, este faptul că, spre deosebire de predecesorii săi, el a folosit, în mod constant, analiza matematică.

In mecanica sistemelor rigide a determinat ecuaţia generală de mișcare a unui corp în jurul unui punct fix. A dat ecuaţia generală de mișcare a unui corp liber.

A fundamentat teoretic principiul minimei acţiuni al lui Maupertius.

A dat ecuaţiile generale de mișcare în hidrodinamică (menţionăm că la data morţii sale, Euler scria un tratat de hidromecanică.)

S-a ocupat de hidrostatică, în legătură cu proiectarea navelor.

In studiul mișcării unui punct material pe o suprafaţă el a folosit metoda geodezicelor.

      In cartea fundamentală ,,Theoria motus corporum solidorum“, Euler descompunea mișcarea unui solid într-o mișcare rectilinie și una de rotaţie, introducând cu această ocazie unghiurile care îi poartă numele.

Lucrările de mecanica fluidelor ale lui Euler sunt fundamentale (a dat ecuaţia de continuitate, ecuaţia de mișcare a unui fluid nevâscos incompresibil etc.). Metodele sale în acest domeniu erau uimitoare și mult superioare predecesorilor săi Bernoulli, Clairaut și D’Alembert.

In astronomie (mecanica cerească) Euler a obţinut rezultate privind cal­culul orbitelor cometelor, calculul paralaxei Soarelui etc. (a se vedea cărţile ,,Theoria Motus Lunaris“ și „Theoria Motuum Planetarum et Cometarum“). Rezultatele sale au fost folosite de Mayer pentru alcătuirea unor tabele privind mişcarea Lunii.

Euler ne-a lăsat și un tratat de optică intitulat ,,Dioptrica“ (trei volume), în care combate teoria corpusculară a luminii a lui Newton.

Ca o curiozitate, menţionăm și un tratat de teoria muzicii, intitulat ,,Tentamen novae theoriae musicae“ (1739) în care Euler încerca să facă muzica (cităm): ,,parte a matematicii și să deducem, într-un mod ordonat, din principii corecte, tot ceea ce face să se potrivească și să se amestece tonurile în mod plăcut“. Din păcate, lucrarea era (iarăși cităm) „pentru muzicieni prea avansată în matematică și pentru matematicieni prea muzicală“.

Nu putem încheia aceste referiri la opera lui Euler fără să amintim scrierile sale cu caracter filozofic și religios. Euler, în armonie cu formaţia sa, era profund credincios și poseda o bogată cultură filozofică. Ca orientare filozofico-crestină, Euler era un opo­nent al filozofiei monadelor, datorată lui Leibniz și discipolului său Christian Wolff. Ideile filozofico-religioase ale lui Euler apar în deja pomenita culegere „Scrisori către o prinţesă germană....“ , precum și în lucrarea „Apărarea revelaţiei divine împotriva obiecţiilor liber-cugetătorilor“ („Rettung der Gottlichen Offenbahrung gegen die Einwiirfe der Freigeister“).

Terminând de prezentat opera lui Euler, este obligatoriu să adău­găm un fapt care vorbește deopotrivă despre imensul volum de lucrări lăsat de Euler, despre onestitatea sa și despre atașamentul faţă de Academia de Stiinţe de la Sankt Petersburg. Euler s-a angajat să lase Academiei atâtea memorii cât să se poată publica în analele ei 20 de ani după moartea lui. In realitate însă, el a dat mult mai mult decât a promis! Publicarea a putut continua 40 de ani după moartea lui Euler!

III. Încheiere

Suntem la capătul acestui lung expozeu despre viaţa și opera genialului Leonhard Euler. Ne înclinăm înfioraţi în faţa măreţiei sale.

Am vorbit despre un titan. Nu putem încheia altfel decât citând un alt titan - Pierre-Simon Laplace: ,,Citiţi-l pe Euler, citiţi-l pe Euler! El este profesorul nostru, al tuturor!“