De ce-a pierdut Ouatu (1)

La încheierea concursului Eurovision 2013, o să vă arăt câteva mici coincidenţe sub semnul cărora a stat participarea României, care a mers acolo cu un domn pe nume Cezar Ouatu şi o piesă intitulată "It's my life". Dacă le veţi analiza, veţi constata că e al naibii de ciudat să se întâmple asemenea lucruri. În orice caz, pentru a înţelege până la capăt despre ce este vorba, e nevoie de două noţiuni: numerele lui Catalan şi funcţia de gradul întâi. Prima e ceva mai complexă, dar pe a doua ar trebui s-o ştie cam toată lumea. Încep cu numerele lui Catalan.

Inchipuiti-vă că în jurul unei mese sunt așezate câteva persoane, numărul lor fiind par. Deci vor fi două, patru, șase, opt etc. In niciun caz trei sau 11.

La un semnal, persoanele astea dau mâna una cu alta, dar nu oricum. Ideea principala e ca mâinile să nu se încrucișeze. Uite, în desenul de mai jos, cu patru persoane la masă, condiția nu este îndeplinită:

Cele patru persoane poartă fesuri colorate, ca să ne putem referi mai ușor la ele. Cine cu cine dă mâna? Fesul roșu dă mâna cu cel albastru, iar fesul galben cu cel verde. Numai că liniile formate de mâinile lor se încrucișează.

E usor de văzut că există două soluții corecte, figurate în desenele care urmează:

Dacă la masă s-ar afla șase persoane, ar putea da mâna, de exemplu, ca în desenele următoare:

In total există cinci posibilități diferite de a indeplini condiția principală - aceea ca mâinile să nu se încrucișeze.

Celelalte trei se găsesc foarte ușor și, dacă vreți, le puteți căuta. 

Prin urmare, am descoperit câteva lucruri, pe care le putem așeza într-un tabel:

În acest tabel, în prima coloană am trecut numărul de persoane aflate în jurul mesei (reţineţi că trebuie să fie număr cu soţ), iar în a doua coloană numărul modurilor diferite în care ele pot da mâna două câte două respectând condiţia ca liniile formate din mâinile lor să nu se încrucişeze.
Un om curios din fire s-ar putea întreba în continuare: dar dacă sunt 10 persoane ce se întâmplă? Apoi, acel om ar putea dori să găsească o formulă generală, adică să afle ce număr este în coloana a doua, dacă în prima este un număr par oarecare, având, adică, forma 2n.
Toate astea sunt probleme rezolvate, dar eu aici nu o să mă ocup de vreo demonstraţie. Uite cum arată tabelul dacă e să-i mai adăugăm nişte linii:

Numerele din a doua coloana sunt numerele lui Catalan. Așadar: primul număr Catalan este 1, al doilea număr Catalan este 2, al treilea număr Catalan este 5, al șaselea este 14 și așa mai departe. Există o formulă de calcul pentru numerele Catalan, una complicată și care nu ne interesează deloc. Tot ce trebuie reținut este șirul numerelor Catalan, care poate fi luat din tabele aflătoare pe internet: 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012.....

P2